Engenhando.

Análise de Fourier?

O termo análise de Fourier identifica um conjunto de manipulações matemáticas desenvolvidas a partir da famigerada série de Fourier e transformada de Fourier, uma das coisas mais úteis da matemática, ao menos pra quem quer entender sinais e sistemas, antes de mais nada, deixar uma bibliografia extenuantemente profunda e interessante: B.P. Lathi – Sinais e Sistemas Lineares e Communication Principles, Simon Haykin – Communication Systems.

Porque os livros? Porque eu não sou rigoroso, os livros precisam ser…

Antes de mais nada, considerações de aplicabilidade das análises de Fourier:

1. Só faz sentido em sistemas lineares (Onde o princípio da superposição seja aplicável).

2. As transformações são inversíveis (Análise é a desconstrução de um sinal em suas partes, Síntese é o trabalho oposto, por isso faz sentido que um sinal possa ser descontruído e reconstruído!)

3. Possuem EigenFunctions diferenciáveis, ou seja, possuem muitas derivadas que não produzem pontos de acumulação (polos e zeros) descontinuados, assim seja possível produzir equações diferenciais do sistema com coeficientes constantes.

Em miúdos, para satisfazer a superposição, basta o sinal em questão ser real, todos os sinais reais são passíveis de superposição, pela mesma razão todo sinal real também possuí eigenfunctions diferenciáveis, isso porque são sinais contínuos no tempo e produzem amostras discretas de frequência, ou seja, eigenvalues!

Vamos lá, quem ainda tem coragem, continue… São várias as análises que um sinal pode sofrer por Fourier:

Sinais contínuos costumam ser passíveis de uma transformada contínua de Fourier (Continous Fourier Transform), F(\nu) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \cdot e^{- 2\pi i\nu t} dt , simplesmente isso… O que é isso você pergunta?!?!

Seja v a frequência (ou conjunto de frequências, uma vez que estou variando de menos infinito a mais infinito), se plotarmos todos os infinitos valores de v num gráfico, ele será exatamente o espectro de frequências da onda f(t), por que? Porque Fourier fez essa análise exatamente para ser isso… Não acredita? Leia um dos livros, a demonstração é super bonitinha.

Outra? S_T(f) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} s[n] \cdot e^{-i 2\pi f n T}  = \sum_{n=-\infty}^{\infty} s[n] \cdot e^{-i 2\pi \frac{f}{f_s} n},  transformada no tempo-discreto de Fourier, é um somatório quando a gente torna o tempo (contínuo) num espaço discretizado, é simples assim, quando o espaço não é mais contínuo a integral é uma somatória e o t é n, fácil né? E a mesma merda do caso anterior, sendo que esse aqui é mais usado, o famoso DTFT (Discrete time Fourier Transform).

Mais uma? F[n] = \frac{1}{\tau} \int_{0}^{\tau} f(x) \cdot e^{-2\pi i\frac{n}{\tau} t} \, dt, , é a famigerada série de Fourier, que na prática, na prática é a mesmissima coisa da transformada de Fourier, claro que a fórmula é diferente, vocês puderam notar, entretanto faz a mesma coisa, pega um sinal e discretiza nas harmônicas.

Tem um caso complementar, S[k] = \sum_{n=0}^{N-1} s[n] \cdot e^{-i 2 \pi \frac{k}{N} n}     for all integer values of k.  que é a DFT (Discrete Fourier Transform) que é a mesma coisa da série, para sinais discretos.

E quando eu uso cada uma?

Name Time domain Frequency domain
Domain property Function property Domain property Function property
(Continuous) Fourier transform Continuous Aperiodic Continuous Aperiodic
Discrete-time Fourier transform Discrete Aperiodic Continuous Periodic (fs)
Fourier series Continuous Periodic (τ) Discrete Aperiodic
Discrete Fourier transform Discrete Periodic (N)[1] Discrete Periodic (N)

É uma tabelinha que eu tirei da wikipedia, as relações entre o tipo de função e o domínio que pode ser usado esta descrito aí. Quer um nuts’n’bolts do negócio? Vamos lá!

Eu tenho um sinal plenamente executável na “vida real”, um pulso retangular servirá para a demonstração, esse sinal pode ser considerado de duas maneiras, primeiro:

A análise Contínua.

Definindo f(t) = rect(t) se rect(t) = [ 0 se |t| > T/2 ; 1 se |t| < T/2 ] (Função pulso quadrado de amplitude unitária e duração T).

Pela DTFT: F(v) = 2Tsin(wv)/wv = 2Tsinc(wv)

Vocês não querem que eu faça a integral passo-a-passo não é?

Alguém vai duvidar se eu disser que os outros casos vão dar coisas legais? Não né? Façam pra se divertir.. é adorável…

Mas e daí, pra que serve isso? As análises de Fourier, ou genericamente as análises harmônicas fornecem um arcabouço simplificado dos sinais para que possam ser manipulados por sistemas reais de comunicação, afinal é muito fácil entender um sinal quando se fala em frequências, fases e amplitudes, muito mais do que olhar pra um gráfico de uma onda no tempo e conceber que harmônicas carregam mais energia e portanto representam o sinal e quais representam meros ruídos no final das coisas.

Ainda não ficou claro? Bom, eu cansei hoje, mas prometo que escrevo um textículo melhor sobre o assunto em breve.

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Uma resposta

  1. Sabrina

    Gostei desse monte de letrinhas cheias de sinais! Nossa… quando era pequena e estava na escola, sempre olhava entusiasmada as gigantescas formúlas matemáticas que ficavam pregadas nas paredes. Achava que quando eu aprendesse alguma delas, estaria pronta para uma nova etapa da minha vida. Seria finalmente uma adolescente de respeito! Mas infelizmente a matemática não foi muito receptiva aos meus galanteios; na primeira oportunidade, ela me deixou castigada em pleno dezembro…
    Nunca mais me recuperei!
    Beijos

    23 de setembro de 2008 às 12:57

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